高数笔记

函数极限与连续

1. 判断函数在开/闭区间内是否有界

闭区间内：
1. 若函数在闭区间内连续，则一定有界
2. 若函数在闭区间内有不连续的点，则需要分段判断，若分成了开区间，则需要根据开区间是否有界来判断
开区间内：首先需要判断函数在开区间 $(a, b)$ 内连续，若连续且 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 存在，即两边极限存在，则函数有界拓展： $a,b$ 换成 $+\infty,-\infty$ 也成立 例题：武忠祥每日一题11/7

2. 极限需要分左右符号的情况

分段函数

e^{ a } = \begin{cases}0, & a\to -\infty \\ +\infty, & a\to +\infty\end{cases}

\arctan(a) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & a\to +\infty \\ -\frac{\pi}{2}, & a\to-\infty \end{cases}

3. 极限等价加减原则

求 $\lim\limits_{ x \to a }\alpha-\beta$ 时，若想用 $\lim\limits_{ x \to a }\alpha+\beta=\lim\limits_{ x \to a }\alpha - \lim\limits_{ x \to a }\beta$ ，需要满足：

\frac{\lim\limits_{ x \to a }\alpha }{\lim\limits_{ x \to a }\beta }= A \neq 1

4. 等价无穷小复合函数形式

设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ ，且 $f(x) \neq 0$ （在 $a$ 的某去心邻域内），若 $u \to 0$ 时 $\varphi(u) \sim \psi(u)$ ，则 $x \to a$ 时 $\varphi(f(x)) \sim \psi(f(x))$ 。注意：要求 $f(x)$ 在去心邻域内不为0！原因：等价无穷小定义：

\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to a)

若不满足，至少一个去心邻域内不为0，则分母会取到0，比式无意义.

例题：武忠祥每日一题 11/14

5. 可部分求极限的情况

对于 $\lim\limits_{ x \to a } f(x)\cdot g(x)$ 或 $\lim\limits_{x\to a }f(x)^{g(x)}$ ，若 $f(x)$ 或 $g(x)$ 可单独求极限，则只有 $\lim\limits_{ x \to a }f(x)=A$ 或 $\lim\limits_{ x \to a }g(x)=A$ （极限为常数）时才可单独求极限带入

6. $1^{\infty}$ 求极限

凑e： $\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
凑 $\lim\limits_{ x \to 0 }(1+f(x))^{g(x)}=e^{A}$ ，其中 $\lim\limits_{ x \to 0 }f(x)\cdot g(x)=A$ ，要求 $f(x)\to {0}$

7. 常用极限公式

$\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$ .

$\lim\limits_{ x \to +\infty } \frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\alpha>0$ .

8. 单调有极限的保号性

若 $f(x)$ 单调递减且 $\lim\limits_{ x \to \infty }f(x)=0$ ，可推出 $f(x)>0$ ，可用反证法证明. 例题：武忠祥每日一题1/16

9. 跳跃间断点定义问题

跳跃间断点不要求函数在跳跃点处有定义！

\text{左右极限都存在} \begin{cases} \text{相等} \begin{cases} =f(a) \;\longrightarrow\; \text{连续} \\ \neq f(a) \;\longrightarrow\; \text{可去间断} \end{cases} \\ \text{不等} \;\longrightarrow\; \text{跳跃间断} \quad(\text{与 } f(a) \text{ 是否存在无关}) \end{cases}

10.

其他结论：若 $f(x_{0})\neq_{0}$ ，则 $|f(x_{0})|在x_{0}处可导\iff f(x_{0})在x_{0}处可导$

11. 洛必达法则

用于求 $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ ，不是恒等变形，须先验证条件。

适用类型（直接）

\frac{0}{0}\quad\text{或}\quad\frac{\infty}{\infty}

其他未定式先变形再用：

类型	常用变形
$0\cdot\infty$	化为 $\dfrac{0}{1/\infty}$ 或 $\dfrac{\infty}{1/0}$
$\infty-\infty$	通分、有理化、提公因子
$0^0,\ \infty^0,\ 1^\infty$	取对数化为 $0\cdot\infty$

使用条件（同时满足）

未定式：代入确认为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ ；每用一次后若仍为此型可再用，否则停止。
可导：在极限点的某去心邻域内 $f,g$ 可导，且 $g'(x)\neq 0$ 。
导数比极限存在： $\displaystyle\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ （ $L$ 为有限数或 $\pm\infty$ ），则

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=L.

使用流程

代入 → 确认 0/0 或 ∞/∞ → 分子分母分别求导 → 再代入
→ 仍为未定式则重复；否则换泰勒/等价无穷小/拆项

常见误区

非未定式（如 $\dfrac{1}{0}$ 、 $\dfrac{0}{2}$ ）不能用。
$\displaystyle\lim\frac{f'}{g'}$ 不存在，只说明洛必达失效，原极限仍可能存在（如 $\dfrac{x+\sin x}{x}$ 应拆项）。
不要把 $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ 当恒等式。

数列极限

1. 数列与函数单调性

$\lim\limits_{ n \to \infty }f(a_{n})=A(f(a_{n}收敛))且f(x)单调(有反函数)\to a_{n}收敛$. 
逆否命题：
$a_{n}发散且f(x)单调(有反函数)\to f(a_{n})发散$

2. 压缩映射原理

要证明 $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n}=A$ ，可证 $|x_{n}-A|\leq a|x_{n-1}-A|$ ，递推可得到 $|x_{n}-A|\leq a^{n-1}|x_{1}-A|\to{0}$

3. 求数列极限通用解法

证明数列单调有界，则有极限
用压缩映射，先设 $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n}=A$ 求出极限，再构建压缩映射公式

4. 求级数是否收敛的通用解法

一元函数微分学

1. 复合函数求原函数

方法：对于 $f'(x)$ ，凑 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ ，可写成 $\ln(f(x))$ 的导数；对常数或多项式，可写成高阶形式的导数，最后把整体写成某个函数的导数的形式. 例题：武忠祥每日一题1/21

2. 泰勒公式

\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+o(x^7)\\ \cos x&=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+o(x^6)\\ \tan x&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+o(x^5) \end{aligned}

记忆： $\sin x$ 求导得到 $\cos x$ 。

\begin{aligned} \arcsin x&=x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+o(x^5)\\ \arctan x&=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+o(x^5) \end{aligned}

记忆： $\arcsin x$ 与 $\sin x$ 差后项符号， $\arctan x$ 与 $\tan x$ 差后项符号。

\begin{aligned} \ln(1+x)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+o(x^4)\\ e^x&=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2),\quad x\to 0\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,\quad |x|<1\\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\quad |x|<1\\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,\quad |x|<1 \end{aligned}

考研里幂级数 / 泰勒展开的实用规则

1. 优先“标准展开式 + 变形”，少硬求 $f^{(n)}(0)$ 必记：

\frac{1}{1-x},\quad \ln(1+x),\quad e^x,\quad \sin x,\quad \cos x,\quad (1+x)^\alpha

2. 有理函数：部分分式 → 凑 $\dfrac{1}{1-u}$ 或 $\dfrac{1}{(1-u)^k}$ （可对几何级数求导）
3. 对数 / 根式：因式分解或配方 → 凑 $\ln(1+u)$ 、 $(1+u)^\alpha$
4. 复合：设 $u=g(x)$ ， $g(0)=0$ ，再代入已知级数
5. 运算：加减、乘、除（长除）、逐项求导/积分，把复杂函数拆成已知级数
6. 必须写收敛区间（公共部分；端点另判）
7. 若只要前几项（到 $x^n$ 或 $o(x^n)$ ）：可直接求导算系数，或已知级数截断——这才是“直接泰勒”的合适场景
口诀：先化成“见过的级数”，再展开；通项里不能再留未定值的 $x$ 。

3. 极值点和拐点的形式

极值点指 $x$ 轴上的点，可以是 $x=1$ . 拐点是曲线上的点，形式为 $(1,-1)$

一元函数积分学

1. P积分

对于积分

\int_{a}^{+\infty}\left( \frac{1}{x^p} \right)dx, a>0

有：

\begin{cases} p\leq 1, 发散\\ p >1, 收敛 \end{cases}

对于积分限为无限的反常积分，可用与P积分比较大小来求是否收敛 例题：武忠祥每日一题2/15

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 必须两端各自收敛（ $A,B$ 独立取极限），不能因为是奇函数就先把两端抵消。详见下面「积分奇偶性」。

2. sinx函数变换

\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx

3. 区间重现

\int_{a}^{b}f(x)\,dx,\quad t=a+b-x

原式 $=\displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-t)\,dt$ 。

4. 常用积分公式

$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
$\int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$
$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan|\frac{x}{a}|+C$

\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos^n x\,dx= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{ 为偶数}\\[6pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}, & n\text{ 为奇数} \end{cases}

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C$
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx$ 收敛， $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx$ 发散。
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ （高斯积分； $e^{-t^{2}}$ 为偶，故 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi}$ ）

5. 积分奇偶性

以下均设 $f$ 在关于原点对称的区间上连续。 $F'=f$ 为任一原函数。

$f$ 为奇 $\Rightarrow$ 每一个原函数都是偶函数。

F(-x)=F(x)

（对 $F(-x)$ 求导得 $f(x)$ ，故 $F(-x)=F(x)+C$ ；令 $x=0$ 得 $C=0$ 。）变上限积分下限任意都可以：

\int_{a}^{x}f(t)\,dt

为偶函数（ $a$ 任意）。

$f$ 为偶 $\Rightarrow$ 原函数一般既非奇也非偶，且

F(-x)=-F(x)+2F(0)

故 $F$ 为奇 $\iff F(0)=0$ 。加减常数只改变 $F(0)$ ，因此有且仅有一个原函数是奇函数，就是过原点的那一个：

\int_{0}^{x}f(t)\,dt

为奇函数。下限不是 $0$ 时， $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt\Big|_{x=0}=\int_{a}^{0}f\neq 0$ （一般），不是奇函数。任意原函数 $=$ 这个奇原函数 $+$ 常数。

**定积分（有限对称区间）**才可以直接用奇偶：

\int_{-a}^{a}f_{\text{奇}}=0,\qquad \int_{-a}^{a}f_{\text{偶}}=2\int_{0}^{a}f

无穷限不能先抵消。 定义是两端分开取极限，都存在才叫收敛：

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx =\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{0}f +\lim_{B\to+\infty}\int_{0}^{B}f

一边散，整体就散。把两边替换成相反数再写「 $I+(-I)=0$ 」是 $\infty-\infty$ ，不算数。须先确认 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f$ 与 $\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f$ 都收敛，才能用奇偶下结论。

$e^{|x|}\sin 2x$ 为奇，但 $e^{|x|}$ 两边振幅都爆 → $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 发散（不是 $0$ ）。
$e^{-|x|}\sin 2x$ 为奇且两边都收敛 → 积分才是 $0$ 。

对称地一起推出去 $\displaystyle\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}$ （柯西主值）大纲不考；主值是 $0$ 也不能改判收敛。

6. 定积分几何公式

$\int_{0}^{a}\sqrt{ a^2-x^2 }dx=\int_{0}^{a}\sqrt{ 2ax-x^2 }dx=\frac{\pi a^2}{4}$

7. 积分周期性

$f(x)$ 连续且周期为 $T$ ，则

\int_{0}^{x}f(t)\,dt\text{ 以 }T\text{ 为周期} \iff \int_{a}^{a+T}f(t)\,dt=0

8. 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists \xi\in[a,b],s.t.$

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)

推广形式：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则则 $\exists \xi\in[a,b],s.t.$

\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x)\,dx

对比项	微分中值	积分中值
公式	$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$	$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$
本质	存在切线平行于弦	存在矩形等于曲边梯形面积

9. 求积分公式的阶数

对于 $\int_{0}^{\phi(x)}f(t)dt$ ，若 $\phi(x)$ 阶数为 $n$ ， $f(x)$ 阶数为 $m$ ，则原积分阶数为 $n(m+1)$ 当原积分下限不为0时，可拆为两个积分下限为0的积分相减，分别求阶次，取较低者为原积分阶次。若两积分阶次相同，则此方法不适用

2.对积分求导，转为积分的导数（普通函数形式），求其阶数，积分阶数为导数阶数+1

11. 定积分物理应用

微分方程

1. 线性方程的说法

$n$ 阶线性微分方程：

a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)

$a_i(x)$ 全是常数 $\Rightarrow$ 常系数
$f(x)=0$ $\Rightarrow$ 齐次（否则非齐次）

2. 一阶：能分离的先分离

① 可分离变量 $y'=f(x)g(y)$ ：

\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx

② 换元后分离 $\dfrac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ ，令 $u=ax+by+c$ ：

\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(u)

再分离 $u,x$ 。

③ 齐次型 $\dfrac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，令 $u=\dfrac{y}{x}$ （即 $y=ux$ ）：

x\frac{du}{dx}+u=\varphi(u)

3. 一阶线性与伯努利

一阶线性 $y'+P(x)y=Q(x)$ ：

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C\right]

定积分写法（ $x_0$ 可任取）：

y=e^{-\int_{x_0}^{x}P(t)\,dt}\left[\int_{x_0}^{x}e^{\int_{x_0}^{t}P(\tau)\,d\tau}Q(t)\,dt+C\right]

伯努利 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}$ （ $n\neq 0,1$ ）：两边乘 $y^{-n}$ ，令 $z=y^{1-n}$ ，则

\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}

化成一阶线性：

\frac{1}{1-n}z'+P(x)z=Q(x)

4. 二阶常系数齐次

y''+py'+qy=0

有两个线性无关解 $y_1,y_2$ 时，通解 $y=C_1 y_1+C_2 y_2$ 。

特征方程 $r^{2}+pr+q=0$ ：

判别式	根	通解
$p^{2}-4q>0$	两实根 $r_1,r_2$	$C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$
$p^{2}-4q=0$	重根 $r$	$(C_1+C_2 x)e^{rx}$
$p^{2}-4q<0$	$\alpha\pm\beta i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

5. $n\ge 2$ 阶常系数齐次

先解特征方程得根 $r$ ，每类根往通解里贡献一项：

单实根 $r$ ：含 $C e^{rx}$
$k$ 重实根 $r$ ： $(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})e^{rx}$
单复根 $\alpha\pm\beta i$ ： $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
二重复根 $\alpha\pm\beta i$ ： $e^{\alpha x}\bigl[(C_1+C_3 x)\cos\beta x+(C_2+C_4 x)\sin\beta x\bigr]$

（ $k$ 重复根把多项式升到 $x^{k-1}$ 。）

6. 二阶常系数非齐次

y''+py'+qy=f(x)

解的结构：齐次通解 $+$ 一个特解 $y^{*}$ 。

① $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ （ $P_n$ 为 $n$ 次多项式）：设

y^{*}=e^{\alpha x}Q_n(x)\,x^{k}

$Q_n$ 仍是待定的 $n$ 次多项式，

k= \begin{cases} 0, & \alpha\text{ 不是特征根}\\ 1, & \alpha\text{ 是单特征根}\\ 2, & \alpha\text{ 是二重特征根} \end{cases}

② $f(x)=e^{\alpha x}\bigl[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\bigr]$ ：设

y^{*}=e^{\alpha x}\bigl[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]x^{k}

$l=\max(m,n)$ ， $Q_l^{(1)},Q_l^{(2)}$ 为两个待定 $l$ 次多项式，

k= \begin{cases} 0, & \alpha\pm\beta i\text{ 不是特征根}\\ 1, & \alpha\pm\beta i\text{ 是特征根} \end{cases}

（ $\cos$ 、 $\sin$ 即使只出现一个，特解里两个都要设。）

7. 欧拉方程

x^{2}y''+pxy'+qy=f(x)

$x>0$ 时令 $t=\ln x$ （即 $x=e^{t}$ ）， $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}$ ：

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-\frac{dy}{dt}\right)

代入后变成常系数：

\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^{t})

先对 $t$ 求出通解，再代回 $x=e^{t}$ 。 $x<0$ 时改用 $t=\ln|x|$ 。

其他

$a^x=e^{x\ln a}$ . $1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)$

1. 常用导数

\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\ (u\pm v)^{(n)}&=u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (uv)^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \end{aligned}

2. 常用不等式

$\sin x<x<\tan x,x\in\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ . $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,x\in(0,+\infty)$

3. 函数增长速度比较

$x\to+\infty$ 时，

\ln x\ll x^\alpha\ll \alpha^x\ll x^x\ll \alpha^{x^2}

$x\to 0^+$ 时，

e^{-1/x}\ll x^\alpha