第一章 绪论

自动控制理论通常可分为经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。

控制理论发展和概括

一、经典控制理论

以传递函数为基础，研究单输入-单输出控制系统的分析和设计。

1. 线性（连续）控制理论

为什么这三种方法要求「线性」？

线性系统满足叠加原理（$T[\alpha x_1+\beta x_2]=\alpha T[x_1]+\beta T[x_2]$），这意味着响应可以拆解叠加。三种方法本质上都是对这个性质的利用：

时域分析法： 线性 ODE 的解 = 齐次解（特征根组合 $e^{\lambda t}$）+ 特解。非线性方程没有这种分解——$x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 分别是解，$x_1+x_2$ 不一定是解。

频率特性法： 只有线性系统在输入 $\sin\omega t$ 时输出才保持同频（仅变幅值和相位）。非线性系统会产生 $\sin 2\omega t$、$\sin 3\omega t$ 等谐波——输出不是单一频率，Bode 图和 Nyquist 图就没法画了。

根轨迹法： 依赖传递函数 $G(s)$，而传递函数定义为零初始条件下输出与输入的拉氏变换之比，只有对线性定常系统才成立。非线性系统根本不存在传递函数。

这就是为什么非线性系统需要独立的分析工具（描述函数法、相平面法、李雅普诺夫直接法）。

2. 非线性控制理论

3. 采样控制理论（要求线性定常）

• Z 变换法：离散系统的分析与设计

辨析：线性控制理论 vs 采样控制理论

教材中”线性控制理论”准确的叫法是连续线性控制理论——它既要求线性，也假设时间连续。而”采样控制理论”研究的是离散时间系统，但 Z 变换同样以线性定常为前提。

• ✅ 采样控制理论也要求线性——Z 变换只对线性定常系统有定义
• ✅ “线性控制理论”隐含连续——三种方法（时域、频域、根轨迹）都在连续时间域
• 非线性离散系统是更高级的话题（研究生阶段），经典教材不展开

二、现代控制理论

以状态空间法为基础，研究多输入-多输出、时变、非线性等控制系统的分析和设计。

三、智能控制理论

以人工智能理论为基础，研究具有模糊性、不确定性、不完全性、偶然性的系统。

三者关系

控制理论发展脉络：

经典控制理论 ──▶ 现代控制理论 ──▶ 智能控制理论
  (1940s-60s)     (1960s-80s)      (1980s-至今)
  传递函数         状态空间          人工智能
  SISO系统         MIMO系统          不确定性系统

自控系统分类

对控制系统的要求

• 稳定性
• 动态特性
• 稳态特性 三者不能兼容

典型测试信号

实际系统输入具有不确定性，无法用解析式表达。引入典型测试信号统一标准，便于对比分析不同系统的性能。

1. 阶跃输入函数（Step）

检测系统突变的跟踪能力。阶跃函数频带很宽，跃变等价于宽频域内无数正弦信号的合成。

单位阶跃：$R=1$，记作 $u(t)$。 起始时刻 $\tau$ 的阶跃记为 $u(t-\tau)$。

2. 斜坡输入函数（Ramp / 速度函数）

检测系统匀速运动的跟踪能力。斜坡函数 = 阶跃函数对 $t$ 的积分。

单位速度函数：$R=1$，记作 $t \cdot u(t)$。

3. 抛物线输入函数（Parabolic / 加速度函数）

表示匀加速信号，由速度函数对 $t$ 积分而得。

单位加速度函数：$R=1$，记作 $\frac{1}{2}t^{2} \cdot u(t)$。实际很少用比这变化更快的信号。

4. 脉冲输入函数（Pulse）

模拟瞬时冲击。实际脉冲宽度 $h$ 应极小，一般要求 $h < 0.1T$（$T$ 为系统时间常数）。

理想单位脉冲（$A=1, h\to 0$）：

5. 正弦函数（Sinusoid）

检测系统不同频率下的响应特性。求得所有频率的正弦响应，可准确确定整个系统特性。

• $A$：振幅 $\phi$：相位移 $\omega$：振荡角频率

五种信号关系

阶跃→斜坡→抛物线逐级积分，变化逐渐加快。脉冲响应做拉氏变换即得传递函数 $G(s)$。

第二章 控制系统的数学模型

• 数学模型

• 数学模型表示形式

LTS系统微分方程的一般形式（时域分析法）

式中：$r(t)$为输入量；$c(t)$为输出量。

在实际物理系统中，系数 $a_i$ 和 $b_i$ 均为实数，并且一般有 $n \ge m$。这是因为一般物理系统均有质量、惯性或滞后的储能元件，所以 $c(t)$ 的导数阶次一般比 $r(t)$ 高（有时相等）。 对微分方程进行拉氏变化，可得到系统输出与输入之比，即系统的传递函数。

传递函数的性质

• 系数均为实数
• 只与系统或元件本身参数有关，与输入输出无关
• 不能反映系统或元件的物理组成-不同元件可能有相同传递函数
• 传递函数与系统单位脉冲响应为一组拉氏变换
• 仅适用于线性定常系统

式 (2-7) 时间常数表达式中 $\omega$ 的来源

式 (2-7) 是传递函数的时间常数表达式：

式中：$K$ 为稳态增益；$m_1 + 2m_2 = m$，$v + n_1 + 2n_2 = n$。

教材在此处跳跃了一步：没有解释 $\omega_{nk}$、$\omega_{pl}$ 从何而来。它们实际上来自零极点表达式 (2-8) 中共轭复根的标准化改写。

推导：共轭复根 $\to$ $\omega$ 与 $\xi$ 的标准型

设系统有一对共轭复零点，其根为

（$\omega$ 为无阻尼固有频率，$\xi$ 为阻尼比）

还原为二阶因子：

提取 $\omega^2$：

这个 $\omega^2$ 被吸进前面的增益 $K$ 中，因此式 (2-7) 中只保留中括号内的标准型。极点同理。

结构对照

下标含义：$n$ = zero（零点），$p$ = pole（极点）；$k, l$ 为序号。

一句话总结

$\omega_{nk}$、$\omega_{pl}$ 分别是共轭复零点、共轭复极点对应的无阻尼固有频率。 式 (2-7) 本质上是把零极点按”实根 $\to$ 一阶时间常数形式、复根 $\to$ 二阶标准型”重新整理后的结果。

典型环节及其传递函数

出处：《自控理论与设计 徐薇莉》第二章 §2.2.4 · PDF第21–22页 · 经 OCR 识别

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节有以下六种：

1. 比例环节

式中：$K$ 为增益。 特点：输出量与输入量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器、齿轮、电阻（或电位器）、感应式变送器等。

2. 惯性环节

式中：$T$ 为时间常数。 特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：图 2-1 所示的 $RC$ 网络，直流伺服电动机从输入电压到转速的传递函数也包含这种环节。

3. 微分环节

• 理想微分：

• 一阶微分：

• 二阶微分：

特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。

4. 积分环节

特点：输出量与输入量的积分成比例，当输入消失后输出仍具记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

5. 振荡环节

式中：$\xi$ 称为阻尼比系数（$0 \le \xi \lt 1$）；$\omega_n$ 称为自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）；$T = \dfrac{1}{\omega_n}$。 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：$RLC$ 电路的输出与输入电压间的传递函数。

6. 纯时间延迟环节（时滞环节）

式中：$\tau$ 为延迟时间。 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔。 实例：管道的温度、流量等物理量的控制问题的数学模型就包含有延迟环节。

拉普拉斯变换性质及使用

基本定义、常用变换对与核心性质速查；自控建模与微分方程求解常用。

一、基本定义

逆变换：

二、常用变换对

三、核心性质

四、记忆口诀

• 阶跃倒 $s$，斜坡倒 $s^2$，$n$ 次幂配阶乘；
• 指数平移分母加，正弦余弦分母二次；
• 时移乘指数，微分乘 $s$ 减初值，积分除以 $s$；
• 卷积变乘积，初值终值看 $s$ 极限。

常用概念

信号流图相关

电路元件

电容

电感

梅森公式

亦称梅逊（Mason）增益公式。由信号流图（或方块图）直接求输入到输出的总增益（传递函数），不必逐步化简。

特征式：

• $\sum L_a$：所有单独回路的环增益之和
• $\sum L_b L_c$：所有两两互不接触回路，环增益乘积之和
• $\sum L_d L_e L_f$：所有三三互不接触回路，环增益乘积之和
• 符号规律：取 $m$ 个互不接触回路时，前面乘 $(-1)^m$

用法：数清前向通路与回路 → 算 $\Delta$ → 对每条前向通路求 $P_k$、$\Delta_k$ → 代入求和。求扰动到输出时，把扰动当源节点即可；特征式 $\Delta$ 与选哪条前向通路无关（同一张图共用一个 $\Delta$）。

第四章 控制系统的时域分析

劳斯判据

出处：徐薇莉《自控理论与设计》§4.5；胡寿松《自动控制原理》§3-5（劳斯–赫尔维茨）。判的是闭环特征根是否全在左半 $s$ 平面，不直接求根。

1. 用之前先看必要条件

闭环特征方程（系数均为实数）

无正实部根的必要条件（两本一致）：各项系数同号，且无一为零（不缺项）。

• 不满足 $\Rightarrow$ 必不稳定（可直接判，不必列表）
• 满足 $\Rightarrow$ 还不够，必须再排劳斯表（或赫尔维茨行列式）

低阶时胡寿松给出的充要（系数已全正）：

2. 劳斯表怎么排

前两行由系数直接填：奇数项一行、偶数项一行；空位补 0。以后各行由上面两行按「交叉相乘再除」得到。以第 3 行第 1 列为例：

其余元算法相同。一直排到 $s^0$ 行。

• 行数 $=n+1$；最后两行每行通常只有一个元素，$s^0$ 行首元等于 $a_n$
• 一行可同乘 / 同除一个正数，不影响稳定性判断（上交 2021 填空）
• 只用闭环特征方程；开环传函不能直接拿来排表

3. 判据（充分必要条件）

徐薇莉：首列非零且不改变符号。 胡寿松：在 $a_0>0$ 约定下，第一列各元均为正。

同时：

• 第一列变号次数 = 右半平面根（正实部根）的个数
• 第一列全正且无特殊情况 $\Rightarrow$ 渐近稳定

劳斯与赫尔维茨实质相同：劳斯表第一列各元与顺序赫尔维茨主子式 $\Delta_i$ 成比例。高阶算行列式麻烦时用劳斯表。

4. 两种特殊情况

出现 0 时先处理后才能数变号。徐薇莉：某行首元为 0 或全零行 $\Rightarrow$ 系统必定不稳定（含临界稳定）。

情况 1：某行只有第一列是 0，同行其余不全为 0

下一行会除以 0，出现 $\infty$。

不表示一定有虚轴根，只表示原表算不下去。

情况 2：整行全为 0

存在对原点对称的根（可同时有几种）：

• 共轭纯虚根 $\pm j\omega$
• 符号相反的实根 $\pm\sigma$
• 对原点对称的共轭复根

处理（两本相同）：

1. 用上一行系数写辅助方程 $F(s)=0$（次数一般为偶数）
2. 对 $s$ 求导，用 $\mathrm{d}F/\mathrm{d}s$ 的系数替换全零行
3. 继续列表；对称根由 $F(s)=0$ 解出

补充：

• 全零行一般出现在 $s$ 的奇次行
• 辅助方程解出的正根，已包含在首列变号次数里，不要重复加
• 上交 2013 判断：「结束前有一行全 0 $\Rightarrow$ 不稳定」——按「稳定 = 渐近稳定」算对（至少临界稳定）

5. 适用条件（徐薇莉注意点）

• 特征方程必须是实系数代数方程
• 系数中有复数，或含 $e^{-\tau s}$ 等指数，不能直接用劳斯（延迟系统要先近似或改用奈氏）
• 稳定性由结构和参数决定，与输入无关

6. 三个标准用法

(1) 判稳 / 数右半平面根 先看必要条件，再列表，处理特殊情况后看首列。

(2) 求使系统稳定的参数范围（上交常考） 特征式含 $K,T$ 等：令第一列各元 $>0$，并联立系数全正，画出 $K$–$T$ 稳定域。临界值常对应某行首元 $=0$（辅助方程 $\Rightarrow$ 虚轴交点）。

(3) 相对稳定性 / 给定稳定度（两本都有） 劳斯本身看不出根离虚轴有多远。令

代入原特征方程，对 $z$ 再排劳斯。若新表首列全正，则全部闭环极点在直线 $s=-\sigma$ 之左（胡寿松称 $\sigma$ 为给定稳定度）。

根轨迹与虚轴交点：令含 $K$ 的首元为 0，用辅助方程，与本条同一套路。

7. 做题顺序

1. 写出闭环 $D(s)=0$，化成降幂、实系数
2. 必要条件：同号、不缺项；否则已不稳定
3. 列表；遇 0 先分清「仅首元 0」还是「全零行」
4. 首列全正 $\Rightarrow$ 渐近稳定；变号次数 = 右半平面根个数
5. 含参：第一列 $>0$ 解不等式；要根在 $s=-\sigma$ 左侧则先平移再列表

一句：劳斯不求根，只看闭环特征式系数——必要条件先筛，首列定稳与右根个数；第一列 0 先处理，全零行必有对称根。

稳态误差

出处：徐薇莉 §4.8；胡寿松 §3-6。只对已稳定的系统谈 $e_{ss}$；先劳斯/奈氏判稳，再算误差。

1. 定义与终值定理

开环（时间常数形式，$v$ 为型别 = 积分环节个数）

单位反馈（或一般 $H$）时，误差传递函数与终值：

$K$ 为开环增益。型别 $v=0,1,2,\ldots$ 分别称 0 型、I 型、II 型。胡寿松：阶跃下无原理性静差称无差系统；0 型有静差，I 型为一阶无差度，II 型为二阶无差度。

2. 三个静态误差系数

由指定允许误差反求系数（徐薇莉）：

速度/加速度误差：不是速度、加速度本身有偏差，而是斜坡、抛物线输入下，稳态时位置上仍差一块。I 型跟斜坡：输出速度能跟上，但位置差 $R/K_v$。

3. 型别速查

要阶跃无静差：至少 I 型。要斜坡无差：至少 II 型。型别不够 $\Rightarrow e_{ss}=\infty$（与再调 $K$ 无关，上交 2025 选择题同理）。

4. 组合输入

线性系统可叠加。例如 $r(t)=A+Bt+\dfrac{1}{2}Ct^2$：

某一项为 $\infty$，总误差就是 $\infty$。

5. 输入误差与输出误差（非单位反馈）

比较点上的量才是 $K_p,K_v,K_a$ 直接给出的（常见、默认）：

$H(s)=K_h$ 为常数时，输出端希望值是 $r/K_h$（稳态比较点要平衡：$K_h c_{\text{希望}}=r$），输出误差

• $K_h=1$（单位反馈）：$E'=E$，两处是同一个量
• $K_h\neq 1$：公式仍是 $e'_{ss}=e_{ss}/K_h$，不是换了一套；只是希望输出和 $K_p=K\cdot K_h$ 都随 $K_h$ 变
• 胡寿松例 3-13：$G=10/(s+1)$，阶跃下 $e_{ss}=1/(1+10K_h)$；$K_h=1$ 时 $e'_{ss}=1/11$，$K_h=0.1$ 时 $e'_{ss}=5$

6. 注意点

• 先稳定：不稳定谈 $e_{ss}$ 无意义（终值定理前提：极点在左半平面，虚轴至多原点单极点）。一阶、系数全正、参数给死了可一句话点出极点在左半平面；三阶及以上或 $K$ 待定要劳斯
• 系数用 $G(s)H(s)$（开环）；型别看开环积分个数；判稳看闭环 $1+GH=0$
• 扰动通道另写 $E_n(s)/N(s)$，不能直接套 $K_p,K_v,K_a$。令 $R=0$ 时希望输出增量为 0（扰动不该把 $c$ 拽走），故 $E_n=-C_n$
• 测速、局部反馈会改等效开环，$K_v$ 可能变小、斜坡误差变大（见下节）
• 静态系数只管 $t\to\infty$ 的常值误差，不管超调、调节时间

7. 做题顺序

1. 判稳
2. 写成时间常数型，读出 $v$ 和 $K$
3. 对输入类型查表，或直接

4. 组合输入则分行叠加
5. 问输出端误差且 $H=K_h$ 时，再除 $K_h$

一句：先稳再算；$K_p,K_v,K_a$ 分别是 $G(s)H(s)$ 在 $s\to 0$ 时乘 $1,s,s^2$；型别够则对应误差为 0，不够则 $\infty$。非单位反馈先算比较点 $E=R-HC$，输出端再除 $K_h$。

动态误差

出处：徐薇莉 §4.10；胡寿松 §3-6 动态误差系数。静态系数 $K_p,K_v,K_a$ 只能给出 $t\to\infty$ 时误差是有限、0 还是 $\infty$，看不出误差随时间怎么变，也不能方便地处理任意输入。动态误差用误差级数描述稳态阶段的 $e(t)$。

1. 误差传递函数在 $s=0$ 邻域展开

在 $s=0$ 处泰勒展开（该级数只在 $s=0$ 邻域收敛，对应时域 $t\to\infty$）：

反拉氏后得到误差级数（徐薇莉称它为动态误差的稳态项 $e_{ss}(t)$，一般不等于含暂态的完整 $e(t)$）：

稳态误差是这条级数的极限：

完整误差可写成 $e(t)=e_t(t)+e_{ss}(t)$（暂态 + 稳态项）。

2. 动态误差系数（徐薇莉记法）

于是

胡寿松把展开系数直接叫 $C_0,C_1,C_2$（广义误差系数）：$C_0=\Phi_e(0)$，$C_1=\Phi_e'(0)$，$C_2=\Phi_e''(0)/2!$。与徐薇莉的关系是 $K_i=1/C_i$。同一套级数，记号不同。

与静态系数的常见对应（单位反馈）：0 型 $K_0=1+K_p$；I 型 $K_0=\infty$、$K_1=K_v$。静态系数是动态系数在典型输入、$t\to\infty$ 时的特例。

3. 两个求法（徐薇莉）

方法一：定义直接算 $\Phi_e(0),\Phi_e'(0),\Phi_e''(0)$。只适合 $\Phi_e(s)$ 很简单。

方法二（常用）：把 $\Phi_e(s)$ 的分子除以分母（在 $s=0$ 邻域作升幂除法），商式与

比较同次项，读出 $K_0,K_1,K_2$。再把 $r,r',r''$ 代入误差级数。

4. 注意

• 级数描述的是 $t\to\infty$ 附近的误差变化，不是过渡过程超调
• 输入含随 $t\to\infty$ 增长的项（斜坡、抛物线等）时，用级数比只报一个 $e_{ss}$ 更清楚
• 两个开环 $K_p,K_v,K_a$ 相同的系统，静态误差可以一样，动态误差级数仍可不同（徐薇莉例 4-14 / 4-16）
• 仍须系统稳定，泰勒展开才对应稳态项

5. 做题顺序

1. 写出 $\Phi_e(s)=1/(1+GH)$
2. 在 $s=0$ 展开或升幂相除，得 $1/K_0$、$1/K_1$、$1/K_2$
3. 代入 $r(t)$ 及其导数，写出 $e_{ss}(t)$
4. 若只要终值，再 $\lim_{t\to\infty}e_{ss}(t)$