高数笔记

函数极限与连续

1. 判断函数在开/闭区间内是否有界

• 闭区间内：
  1. 若函数在闭区间内连续，则一定有界
  2. 若函数在闭区间内有不连续的点，则需要分段判断，若分成了开区间，则需要根据开区间是否有界来判断
• 开区间内： 首先需要判断函数在开区间$(a, b)$内连续，若连续且 $f(a+0)$和$f(b-0)$存在，即两边极限存在，则函数有界 拓展：$a,b$换成$+\infty,-\infty$也成立 例题：武忠祥每日一题11/7

2. 极限需要分左右符号的情况

1. 分段函数

3. 极限等价加减原则

求$\lim\limits_{ x \to a }\alpha-\beta$ 时，若想用$\lim\limits_{ x \to a }\alpha+\beta=\lim\limits_{ x \to a }\alpha - \lim\limits_{ x \to a }\beta$，需要满足：

4. 等价无穷小复合函数形式

设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$，且 $f(x) \neq 0$（在 $a$ 的某去心邻域内）， 若 $u \to 0$ 时 $\varphi(u) \sim \psi(u)$， 则 $x \to a$ 时 $\varphi(f(x)) \sim \psi(f(x))$。 注意：要求$f(x)$在去心邻域内不为0！ 原因：等价无穷小定义：

若不满足，至少一个去心邻域内不为0，则分母会取到0，比式无意义.

例题：武忠祥每日一题 11/14

5. 可部分求极限的情况

对于$\lim\limits_{ x \to a } f(x)\cdot g(x)$ 或 $\lim\limits_{x\to a }f(x)^{g(x)}$，若$f(x)$或$g(x)$可单独求极限，则只有$\lim\limits_{ x \to a }f(x)=A$或$\lim\limits_{ x \to a }g(x)=A$（极限为常数）时才可单独求极限带入

6. $1^{\infty}$求极限

1. 凑e：$\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
2. 凑$\lim\limits_{ x \to 0 }(1+f(x))^{g(x)}=e^{A}$，其中$\lim\limits_{ x \to 0 }f(x)\cdot g(x)=A$，要求$f(x)\to {0}$

7. 常用极限公式

$\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$.

$\lim\limits_{ x \to +\infty } \frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\alpha>0$.

8. 单调有极限的保号性

若$f(x)$单调递减且$\lim\limits_{ x \to \infty }f(x)=0$，可推出$f(x)>0$，可用反证法证明. 例题：武忠祥每日一题1/16

9. 跳跃间断点定义问题

跳跃间断点不要求函数在跳跃点处有定义！

10. 其他结论

若$f(x_{0})\neq_{0}$，则$|f(x_{0})|在x_{0}处可导\iff f(x_{0})在x_{0}处可导$

11. 洛必达法则

用于求 $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}$，不是恒等变形，须先验证条件。

适用类型（直接）

其他未定式先变形再用：

使用条件（同时满足）

1. 未定式：代入确认为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$；每用一次后若仍为此型可再用，否则停止。
2. 可导：在极限点的某去心邻域内 $f,g$ 可导，且 $g'(x)\neq 0$。
3. 导数比极限存在：$\displaystyle\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$），则

使用流程

代入 → 确认 0/0 或 ∞/∞ → 分子分母分别求导 → 再代入
→ 仍为未定式则重复；否则换泰勒/等价无穷小/拆项

常见误区

• 非未定式（如 $\dfrac{1}{0}$、$\dfrac{0}{2}$）不能用。
• $\displaystyle\lim\frac{f'}{g'}$ 不存在，只说明洛必达失效，原极限仍可能存在（如 $\dfrac{x+\sin x}{x}$ 应拆项）。
• 不要把 $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ 当恒等式。

数列极限

1. 数列与函数单调性

$u_n$ 落在有界闭区间 $I$ 上，$f$ 在 $I$ 上严格单调，且 $\lim f(u_n)$ 存在 $\Rightarrow$ $\lim u_n$ 存在。

$\lim\limits_{ n \to \infty }f(a_{n})=A(f(a_{n}收敛))且f(x)单调(有反函数)\to a_{n}收敛$. 
逆否命题：
$a_{n}发散且f(x)单调(有反函数)\to f(a_{n})发散$

2. 单调有界与求单调

单调有界 $\Rightarrow$ 有极限。递推 $x_{n+1}=f(x_n)$ 时，先猜极限（解 $x=f(x)$），再证单调、有界。

判单调常用：

1. 比较 $f(x_n)$ 与 $x_n$（即 $x_{n+1}$ 与 $x_n$）
2. 看 $x_{n+1}-x_n$ 的符号
3. $x_n>0$ 时看 $x_{n+1}/x_n$ 与 $1$

3. 压缩映射

要证 $\lim x_n=a$：若 $0<k<1$ 且 $|x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|$，则

夹逼得 $x_n\to a$。

递推 $x_{n+1}=f(x_n)$，$f$ 可导，$x=a$ 为唯一解，且 $|f'(x)|\le k<1$，则 $|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|=|f'(\xi)||x_n-a|\le k|x_n-a|$，化为上款。

做题：先设极限求出 $a$，再验证压缩。

4. 等差、等比与两个极限

等差：$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$。

等比：$a_n=a_1 r^{n-1}$，

$a_i\ge 0$ 时

数项级数

正项级数先比、再达朗贝尔 / 柯西、或积分判别；交错用莱布尼茨；任意项先看绝对收敛。

1. 比较判别（极限形式）

正项 $\sum u_n,\ \sum v_n$，$\lim\dfrac{u_n}{v_n}=A$。

• $A=0$：$\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 收敛
• $A=+\infty$：$\sum v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 发散
• $0<A<+\infty$：二者同敛散

2. 达朗贝尔

正项，$\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$：$\rho<1$ 收敛；$\rho>1$（含 $+\infty$）发散；$\rho=1$ 失效。

从某项起 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$ $\Rightarrow$ $u_n\not\to 0$ $\Rightarrow$ 发散。

3. 柯西根值

正项，$\lim\sqrt[n]{u_n}=\rho$：$\rho<1$ 收敛；$\rho>1$ 发散；$\rho=1$ 失效。

从某项起 $\sqrt[n]{u_n}\ge 1$ $\Rightarrow$ 发散。

4. 积分判别

$u_n=f(n)$，$f$ 在 $[1,+\infty)$ 上正、连续、单调减，则 $\sum u_n$ 与 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$ 同敛散。

5. 莱布尼茨（交错）

$\sum (-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$）：$\{u_n\}$ 单调不增且 $u_n\to 0$ $\Rightarrow$ 收敛（充分）。

6. 绝对收敛 / 条件收敛

• $\sum|u_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 绝对收敛（原级数也收敛）
• $\sum u_n$ 收敛但 $\sum|u_n|$ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛

$\sum u_n,\sum v_n$ 都绝对收敛 $\Rightarrow$ $\sum(u_n\pm v_n)$ 绝对收敛（$|u\pm v|\le|u|+|v|$）。

一个绝对、一个条件 $\Rightarrow$ 和 / 差条件收敛。

把正项抽成 $\sum v_n$、负项绝对值抽成 $\sum w_n$：

绝对收敛 $\Rightarrow$ 正、负两部分都收敛；条件收敛 $\Rightarrow$ 两部分都发散。

7. 经典级数

调和平均：$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$。

调和级数与部分和 $H_n$：

• 调和级数 $\sum\dfrac{1}{n}$ 发散；$H_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$。
• 积分夹逼：$\ln(n+1)\le H_n\le 1+\ln n$，两边除以 $\ln n$ 得

• $p$ 级数 $\sum\dfrac{1}{n^p}$：$p\le 1$ 发散，$p>1$ 收敛
• 交错调和 $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$（条件收敛）
• $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^p}$：$p>1$ 绝对收敛；$0<p\le 1$ 条件收敛

8. 幂级数

泰勒展开做法见「一元函数微分学」。这里记收敛半径、运算和多出来的展开。

收敛区间只写开区间 $(-R,R)$，不管端点；收敛域要把端点单独判进去。

1. 阿贝尔定理

$\sum a_n x^n$ 在 $x_1$ 收敛 $\Rightarrow$ $|x|<|x_1|$ 处绝对收敛；在 $x_2$ 发散 $\Rightarrow$ $|x|>|x_2|$ 处发散。

对 $\sum a_n(x-x_0)^n$：在 $x_1$ 收敛 $\Rightarrow$ $R\ge|x_1-x_0|$；发散 $\Rightarrow$ $R\le|x_1-x_0|$；端点条件收敛 $\Rightarrow$ $R=|x_1-x_0|$。

2. 求收敛半径

$\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ 或 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$：

收敛区间 $(-R,R)$；收敛域是在此基础上加或不加 $\pm R$。

3. 运算（$R$ 怎么变）

乘 $(x-x_0)^k$：$R$ 不变。逐项求导 / 积分：$R$ 不变，端点可能变。

$\sum a_n x^n$ 半径 $R_a$，$\sum b_n x^n$ 半径 $R_b$：

• 加减：若 $R_a\neq R_b$，则 $R=\min\{R_a,R_b\}$；若相等，则 $R\ge\min$
• 乘积 $\sum\bigl(\sum_{i=0}^{n}a_i b_{n-i}\bigr)x^n$：$R\ge\min\{R_a,R_b\}$

逐项积分（$R$ 相同，收敛域可能变大）：

逐项求导（$R$ 相同，收敛域可能变小）：

4. 补一些展开（$|x|<1$ 除非另写）

9. 傅里叶级数

$f$ 周期 $2l$，在 $[-l,l]$ 可积：

（$a_0$ 也套 $n=0$ 的公式，故常数项是 $a_0/2=\dfrac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f$；周期 $T$ 时常数项也可写成 $\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}f$。）

狄利克雷：在 $[-l,l]$ 上连续或只有有限个第一类间断，且只有有限个极值，则傅里叶级数在 $(-l,l)$ 处处收敛，和函数

10. 级数等效使用方式

判敛散时「等价 / 展开」= 对一般项做泰勒（或等价无穷小），再拿已知级数比。

a. 本质是对每一项展开，不是对和函数展开。
常用：$\ln(1+u)=u-u^{2}/2+O(u^{3})$，$\sin u=u+O(u^{3})$（$u\to 0$）。

b. 正项、主项没被抵消：只留第一项， $a_n\sim b_n$（$0<\lim a_n/b_n<+\infty$）则同敛散。

例：$\sum\ln(1+1/n)$，$u=1/n>0$，

与调和级数同发散。后面的 $-1/(2n^{2})$ 比 $1/n$ 高阶，不影响。

主项抵消时必须往下展（正项也一样）。差、「看起来像 $0$」都要展到第一个不消掉的项。

例：$\sum\bigl[\ln(1+1/n)-1/n\bigr]$，第一项对消，

与 $\sum 1/n^{2}$ 同收敛。若停在 $\ln(1+1/n)\sim 1/n$，会误判成 $0$。

c. 变号：$\sim$ 不能直接传给莱布尼茨。
$a_n\sim b_n$ 只管主项；多出来的定号低阶（尤其 $1/n$）足以改敛散。要展到「定号、且可能发散」的那一阶；有差、有减，同样先看会不会消掉这一阶。

例：$\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ 莱布尼茨收敛，但 $u_n=(-1)^n n^{-1/2}$ 时

$\sum 1/n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum\ln\bigl(1+(-1)^n/\sqrt n\bigr)$ 发散。再减收敛的 $\sum(-1)^n n^{-p}$（$p>0$）也救不回来。

口诀：正项且主项还在 $\Rightarrow$ 第一项；出现差 / 变号 $\Rightarrow$ 展到定号且可能发散的那一阶。

一元函数微分学

1. 复合函数求原函数

方法：对于$f'(x)$，凑$\frac{f'(x)}{f(x)}$，可写成$\ln(f(x))$的导数；对常数或多项式，可写成高阶形式的导数，最后把整体写成某个函数的导数的形式. 例题：武忠祥每日一题1/21

2. 泰勒公式

记忆：$\sin x$ 求导得到 $\cos x$。

记忆：$\arcsin x$ 与 $\sin x$ 差后项符号，$\arctan x$ 与 $\tan x$ 差后项符号。

$o(x^n)$ 是 $x\to 0$ 的局部展开，一般不单独写收敛区间。写成无穷级数 $\sum$ 时才有收敛域。

$\tan x$ 通项用伯努利数，考研记前几项即可，收敛域 $\lvert x\rvert<\pi/2$。

其中 $\displaystyle\binom{\alpha}{n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$，$\binom{\alpha}{0}=1$。$(1+x)^\alpha$ 端点 $x=\pm 1$ 是否收敛取决于 $\alpha$，多数题只写 $|x|<1$。

考研里幂级数 / 泰勒展开的实用规则

1. 优先“标准展开式 + 变形”，少硬求 $f^{(n)}(0)$ 必记：

2. 有理函数：部分分式 → 凑 $\dfrac{1}{1-u}$ 或 $\dfrac{1}{(1-u)^k}$（可对几何级数求导）
3. 对数 / 根式：因式分解或配方 → 凑 $\ln(1+u)$、$(1+u)^\alpha$
4. 复合：设 $u=g(x)$，$g(0)=0$，再代入已知级数
5. 运算：加减、乘、除（长除）、逐项求导/积分，把复杂函数拆成已知级数
6. 必须写收敛区间（公共部分；端点另判）
7. 若只要前几项（到 $x^n$ 或 $o(x^n)$）：可直接求导算系数，或已知级数截断——这才是“直接泰勒”的合适场景
口诀：先化成“见过的级数”，再展开；通项里不能再留未定值的 $x$。

3. 极值点和拐点的形式

极值点指$x$轴上的点，可以是$x=1$. 拐点是曲线上的点，形式为$(1,-1)$

4. 函数乘积的多阶导（莱布尼茨公式）

5. 曲率圆

• 曲率$K$:

• 曲率半径:

• 曲率中心:

• 曲率圆:

一元函数积分学

1. P积分

对于积分

有：

对于积分限为无限的反常积分，可用与P积分比较大小来求是否收敛 对于$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$，若$\lim_{ n \to \infty }\frac{f(x)}{x^{-p}}=0,p>1$，即$f(x)<\frac{1}{x^p}$在$n\to +\infty$时成立，则原反常积分可积。 例题：武忠祥每日一题2/15

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 必须两端各自收敛（$A,B$ 独立取极限），不能因为是奇函数就先把两端抵消。详见下面「积分奇偶性」。

2. sinx函数变换

3. 区间重现

原式 $=\displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-t)\,dt$。

4. 常用积分公式

1. $\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
2. $\int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$
3. $\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan|\frac{x}{a}|+C$

5. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C$

6. $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx$ 收敛，$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx$ 发散。

7. $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$（高斯积分；$e^{-t^{2}}$ 为偶，故 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi}$）

5. 积分奇偶性

以下均设 $f$ 在关于原点对称的区间上连续。$F'=f$ 为任一原函数。

$f$ 为奇 $\Rightarrow$ 每一个原函数都是偶函数。

（对 $F(-x)$ 求导得 $f(x)$，故 $F(-x)=F(x)+C$；令 $x=0$ 得 $C=0$。）变上限积分下限任意都可以：

为偶函数（$a$ 任意）。

$f$ 为偶 $\Rightarrow$ 原函数一般既非奇也非偶，且

故 $F$ 为奇 $\iff F(0)=0$。加减常数只改变 $F(0)$，因此有且仅有一个原函数是奇函数，就是过原点的那一个：

为奇函数。下限不是 $0$ 时，$\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt\Big|_{x=0}=\int_{a}^{0}f\neq 0$（一般），不是奇函数。任意原函数 $=$ 这个奇原函数 $+$ 常数。

**定积分（有限对称区间）**才可以直接用奇偶：

无穷限不能先抵消。 定义是两端分开取极限，都存在才叫收敛：

一边散，整体就散。把两边替换成相反数再写「$I+(-I)=0$」是 $\infty-\infty$，不算数。须先确认 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f$ 与 $\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f$ 都收敛，才能用奇偶下结论。

• $e^{|x|}\sin 2x$ 为奇，但 $e^{|x|}$ 两边振幅都爆 → $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 发散（不是 $0$）。
• $e^{-|x|}\sin 2x$ 为奇且两边都收敛 → 积分才是 $0$。

对称地一起推出去 $\displaystyle\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}$（柯西主值）大纲不考；主值是 $0$ 也不能改判收敛。

6. 定积分几何公式

$\int_{0}^{a}\sqrt{ a^2-x^2 }dx=\int_{0}^{a}\sqrt{ 2ax-x^2 }dx=\frac{\pi a^2}{4}$

7. 积分周期性

$f(x)$连续且周期为$T$，则

8. 积分中值定理

• 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\exists \xi\in[a,b],s.t.$

• 推广形式：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上可积且不变号，则$\exists \xi\in[a,b],s.t.$

• 二重积分：若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，面积为 $\sigma$，则 $\exists\,(\xi,\eta)\in D$，使