行列式

乘法与余子式

同阶方阵：$|AB|=|A||B|$。

• 余子式 $M_{ij}$：划去第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的 $n-1$ 阶行列式（不乘 $a_{ij}$）
• 代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

特殊行列式

副对角线：

分块（拉普拉斯）：

（$A$ 为 $m$ 阶，$B$ 为 $n$ 阶。按对角块逐次展开时，符号由跨越的行数×列数的奇偶决定。）

范德蒙德：

克拉默法则

系数行列式 $D$，把第 $i$ 列换成常数列得 $D_i$。

• $D\neq0$：唯一解 $x_i=D_i/D$
• $D=0$：无解或无穷解
• 齐次： $D\neq0$ 仅零解；$D=0$ 有非零解

矩阵

矩阵多项式 · 分块幂

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m\Rightarrow f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m$。

转置 · 逆 · 对称类

$r(AA^{\mathrm{T}})=r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$。

对称与奇（反）对称

奇对称性质：

• $|A|=(-1)^n|A|$ $\Rightarrow$ $n$ 奇则 $|A|=0$（必奇异）
• $\boldsymbol x^{\mathrm{T}}A\boldsymbol x=0$
• 实奇对称：特征值是 $0$ 或纯虚数；$\lambda$ 是特征值则 $-\lambda$ 也是
• $n$ 偶且可逆时，$A^{-1}$ 仍奇对称
• 任意方阵 $A=\dfrac{A+A^{\mathrm{T}}}{2}+\dfrac{A-A^{\mathrm{T}}}{2}$（对称 + 奇对称）

伴随矩阵 $A^{*}$

有伴随不必可逆。$A^{*}$ 为代数余子式矩阵的转置：

行和读行列式： $A\boldsymbol e=k\boldsymbol e$、$A^{*}\boldsymbol e=m\boldsymbol e$（$\boldsymbol e$ 全 1 向量）$\Rightarrow|A|=km$（用 $AA^{*}=|A|E$）。

初等矩阵与求逆

三种初等变换的具体操作（$k\neq0$，$i\neq j$）：

三阶的样子（倍加阵的 $k$ 在 $(i,j)$ 位，$i\neq j$）：

例：$E_{13}(2)$ 左乘某矩阵，就是把该矩阵第 3 行的 2 倍加到第 1 行：

记法：倍加阵里只有一个非对角元 $k$，它在 $(i,j)$ 位 → 左乘时”第 $j$ 行加进第 $i$ 行”，右乘时”第 $i$ 列加进第 $j$ 列”。看 $k$ 的位置最稳，不用死记方向。

• 行变换 $=$ 左乘初等阵；列变换 $=$ 右乘初等阵
• 可逆阵 $=$ 有限个初等阵之积；$[A|E]\xrightarrow{\text{行}}[E|A^{-1}]$；$\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{列}}\begin{bmatrix}E\\A^{-1}\end{bmatrix}$

分块矩阵的逆

（均假定出现的对角块可逆。）

矩阵等价与秩

$A,B$ 同型：$PAQ=B$（$P,Q$ 可逆）$\Leftrightarrow A\cong B$。等价标准型：

$A\cong B\Leftrightarrow A^{*}\cong B^{*}$（相似、合同对伴随同样成立：$A\sim B\Leftrightarrow A^{*}\sim B^{*}$，$A\simeq B\Leftrightarrow A^{*}\simeq B^{*}$）。
相似与合同互不蕴含。

秩的常用结论

秩 1

$A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\Rightarrow r(A)=1$，且 $A^{n}=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1}A$。一般 $r(A)=1\Rightarrow A^{n}=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1}A$。

向量

内积 · 正交 · 正交矩阵

$(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=\boldsymbol\alpha^{\mathrm{T}}\boldsymbol\beta$；正交 $\Leftrightarrow$ 内积为 $0$。 $\|\boldsymbol\alpha\|=\sqrt{\sum a_i^2}$；单位向量 $\|\boldsymbol\alpha\|=1$。

规范正交组：$\boldsymbol\alpha_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol\alpha_j=\delta_{ij}$。

正交矩阵： $A^{\mathrm{T}}A=AA^{\mathrm{T}}=E\Leftrightarrow A^{\mathrm{T}}=A^{-1}\Leftrightarrow$ 行（列）组为规范正交基；
$A^{\mathrm{T}},A^{-1},A^{*}$ 亦正交；特征值满足 $|\lambda|=1$（实正交时常见 $\pm1$ 或共轭单位复根成对）。

线性相关 / 无关

无关：不存在不全为 $0$ 的 $k_i$ 使 $\sum k_i\boldsymbol\alpha_i=\boldsymbol0$。

1. 相关 $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余线性表示
2. $\boldsymbol\alpha_1,\dots,\boldsymbol\alpha_n$ 无关而添 $\boldsymbol\beta$ 后相关 $\Rightarrow\boldsymbol\beta$ 可由它们唯一表示
3. $\boldsymbol\beta_1,\dots,\boldsymbol\beta_t$ 可由 $\boldsymbol\alpha_1,\dots,\boldsymbol\alpha_s$ 表示且 $t>s\Rightarrow$ 相关
4. 相关 $\Leftrightarrow$ 齐次有非零解 $\Leftrightarrow r(\boldsymbol\alpha_1,\dots,\boldsymbol\alpha_m)<m$；列数 $<$ 向量个数时必相关
5. $\boldsymbol\beta$ 可由组表示 $\Leftrightarrow$ 非齐次有解 $\Leftrightarrow r([\boldsymbol\alpha])=r([\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta])$
6. 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关
7. 相关组增加分量仍相关；无关组删去相同分量仍无关

极大无关组 · 等价 · 秩

极大线性无关组： 子集无关，且组中其余向量均可由它表示（不唯一）。向量组与其极大无关组等价。

等价向量组 $I\cong II$：可互相线性表示 $\Leftrightarrow r(I)=r(II)=r(I,II)$（传递）。

$r(A)=$ 行秩 $=$ 列秩。行变换不改变行秩，列相关性不变；列变换类似。
若 $I$ 可由 $II$ 表示，则 $r(II)\ge r(I)$。

求极大无关组：处理行向量用列变换；处理列向量用行变换。

基 · 坐标 · 基变换 · 正交化

$I=\{\boldsymbol\xi_1,\dots,\boldsymbol\xi_n\}$ 无关且张成 $R^n$ 则为基；$\boldsymbol\alpha=\sum a_i\boldsymbol\xi_i$ 中 $[a_1,\dots,a_n]$ 为坐标。

过渡矩阵：$II=IC$；坐标变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$（$I$ 下 $\boldsymbol x$，$II$ 下 $\boldsymbol y$）。

Gram–Schmidt：

线性方程组

解的判定

$A=[\boldsymbol\alpha_1,\dots,\boldsymbol\alpha_n]$，增广 $[A\vdots\boldsymbol b]$（$\bar A$）。

齐次 $Ax=\boldsymbol0$： $r(A)=n$ 仅零解；$r(A)=r<n$ 无穷解，基础解系含 $n-r$ 个无关解（须线性无关）。

非齐次：

$\boldsymbol y_1,\boldsymbol y_2$ 为 $Ax=\boldsymbol b$ 解，$\boldsymbol\eta$ 为齐次解 $\Rightarrow\boldsymbol y_1-\boldsymbol y_2$ 齐次解；$k\boldsymbol y+\boldsymbol\eta$ 仍为非齐次解。

步骤： 齐次通解 + 非齐次特解。

同解与公共解

同解：$r(A)=r(B)=r\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}$（或秩相等且解集互含）$\Leftrightarrow$ 行向量组等价。

• 齐次公共非零解 $\Leftrightarrow\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 有非零解
• 非齐次公共解 $\Leftrightarrow r\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}A&\boldsymbol\beta\\B&\boldsymbol\gamma\end{bmatrix}$

注意：$r([A\ B])=r([A\ B]^{\mathrm{T}})=r\begin{bmatrix}A^{\mathrm{T}}\\B^{\mathrm{T}}\end{bmatrix}$，一般 $\neq r([A^{\mathrm{T}}\ B^{\mathrm{T}}])$。

三平面几何（$A\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\beta$）

行向量 $\boldsymbol\alpha_i$，增广行 $\boldsymbol\beta_i$。

有解：
① 交于一点 $r=r(\bar A)=3$ 唯一；② 交于直线 $r=r(\bar A)=2$（$\boldsymbol\beta_i$ 两两无关）；③ 两面重合+第三相交 $r=r(\bar A)=2$（$\boldsymbol\beta_i$ 有两相关）；④ 三面重合 $r=r(\bar A)=1$。

无解：
⑤ 交线平行 $r(A)=2,r(\bar A)=3$（$\boldsymbol\alpha_i$ 两两无关）；⑥ 两面平行+第三相交（$\boldsymbol\alpha_i$ 有两相关）；⑦ 三面平行不重合 $r(A)=1,r(\bar A)=2$；⑧ 两面重合+第三平行（同上秩）。

特征值和特征向量

定义与计算

$A\boldsymbol\xi=\lambda\boldsymbol\xi$（$\boldsymbol\xi\neq\boldsymbol0$）$\Leftrightarrow|\lambda E-A|=0$（特征多项式），再解 $(\lambda E-A)\boldsymbol\xi=\boldsymbol0$。

整系数特征多项式试根：有理根为整数且为常数项因子。

与矩阵的关系： $|A|=\prod\lambda_i$，$\operatorname{tr}(A)=\sum\lambda_i$；二阶主子式之和 $=$ 两两特征值乘积之和。

向量性质： $k$ 重特征值至多 $k$ 个无关特征向量；不同特征值的特征向量无关；同特征值非零组合仍是特征向量；不同特征值的非平凡组合一般不是特征向量；一向量不能属于两个不同 $\lambda$。

运算对 $\lambda,\boldsymbol\xi$ 的影响

$f(A)=O\Rightarrow f(\lambda)=0$。$A^{\mathrm{T}}$ 与 $A$ 特征值相同，特征向量一般不同。
$A$ 的特征向量是 $A^{*}$、$A^2$ 等的特征向量，反之不定。

解的写法：$k$ 能否为 0

多重特征值全部特征向量：$k_1\boldsymbol\xi_1+k_2\boldsymbol\xi_2$，系数不全为 0（允许个别为 0）。

相似

$P^{-1}AP=B\Leftrightarrow A\sim B$（自反、对称、传递）。

必要条件： $|A|=|B|$，$r$、$\operatorname{tr}$、$\lambda$ 相同；$r(\lambda E-A)$ 相同（几何重数）；各阶主子式之和相等；进而 $A^k\sim B^k$，$f(A)\sim f(B)$，$A^{-1}\sim B^{-1}$（可逆时），$A^{*}\sim B^{*}$，$A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}}$；块对角同样可分块相似。
若 $L(A)=af(A)+bA^{-1}+cA^{*}$，则 $A\sim B\Rightarrow L(A)\sim L(B)$。

仅特征值相同 $\nRightarrow$ 相似；实对称且特征值相同 $\Leftrightarrow$ 相似。$A\sim\Lambda$ 且 $B\sim\Lambda\Rightarrow A\sim B$。

相似对角化 · 实对称

不能相似对角化 $=$ 无 $P$ 使 $P^{-1}AP=\Lambda$ 对角；仍可能相似于非对角阵。

充要： $n$ 个无关特征向量 $\Leftrightarrow$ 每个 $k$ 重特征值有 $k$ 个无关特征向量。
充分： $n$ 个互异特征值；或实对称。

$P^{-1}AP=\Lambda\Rightarrow A=P\Lambda P^{-1}$，$A^k=P\Lambda^k P^{-1}$，$f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1}$。

实对称：不同特征值特征向量正交；存在正交 $Q$ 使 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\operatorname{diag}(\lambda_i)$（正交对角化）。

二次型

定义 · 合同 · 变换

$f=\boldsymbol x^{\mathrm{T}}A\boldsymbol x$（$A$ 对称），秩 $=r(A)$。$\boldsymbol x=C\boldsymbol y$（$C$ 可逆）$\Rightarrow f=\boldsymbol y^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AC)\boldsymbol y$。
$C^{\mathrm{T}}AC=B\Leftrightarrow A\simeq B$（合同：自反、对称、传递；保秩；对称性保持）。

标准型 $d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2$；规范型 $\pm x_1^2\pm\cdots\pm x_n^2$。

• 合同对角化：存在可逆 $C$，$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$（对角为 $d_i$ 或 $\pm1$）——异于相似对角化
• 正交变换：存在正交 $Q$，$Q^{\mathrm{T}}AQ=\operatorname{diag}(\lambda_i)$；所得标准型系数唯一，即特征值

惯性定理 · 合同判定

正惯性指数 $p$、负惯性指数 $q$ 在可逆变换下不变；$r(A)=p+q$。

合同 $\Leftrightarrow$ $p,q$ 相同 $\Leftrightarrow$ $r$ 同且 $p$（或 $q$）同 $\Leftrightarrow$ 正/负特征值个数相同。

半正定与正定

$\boldsymbol y=A^{\mathrm{T}}\boldsymbol x\Rightarrow\boldsymbol y^{\mathrm{T}}\boldsymbol y=\boldsymbol x^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})\boldsymbol x\ge0$，故 $AA^{\mathrm{T}}$、$A^{\mathrm{T}}A$ 半正定；正惯性指数 $=r(A)$。

正定（$\boldsymbol x\neq\boldsymbol0\Rightarrow\boldsymbol x^{\mathrm{T}}A\boldsymbol x>0$）$\Leftrightarrow$ $p=n\Leftrightarrow$ 存在可逆 $D$，$A=D^{\mathrm{T}}D\Leftrightarrow A\simeq E\Leftrightarrow\lambda_i>0\Leftrightarrow$ 全部顺序主子式 $>0$。

正定 $\Rightarrow$ $a_{ii}>0$，$|A|>0$；$A,B$ 正定 $\Rightarrow A+B$ 与 $\operatorname{diag}(A,B)$ 正定；
$A^{-1},A^{*},A^{m},kA\ (k>0),C^{\mathrm{T}}AC$（$C$ 可逆）正定。